C++之大数运算

溪云初起日沉阁

山雨欲来风满楼

契子✨

我们知道数据类型皆有范围，一旦超出了这个范围就会造成溢出问题

今天说说我们常见的数据类型范围：

我们平时写代码也会遇到数据类型范围溢出问题：

比如 ~ 我们之前写的学生管理系统在用 int类型填写学生学号时，我们发现了数据溢出

那么我们是怎么解决的呢？我们采用了 char* 类型 （数组）在我们 C++ 中也就是 string 类型

也就是我们可以用字符串类型存储较大的数（会溢出的数据）

而字符串的数学运算也被称为大数运算

废话不多说，铁铁们请看题：

字符串相加

题目链接：字符串相加

给定两个字符串形式的非负整数 num1 和num2 ，计算它们的和并同样以字符串形式返回。

你不能使用任何內建的用于处理大整数的库（比如 BigInteger），也不能直接将输入的字符串转换为整数形式。

示例 1：
输入：num1 = "11", num2 = "123"
输出："134"
示例 2：
输入：num1 = "456", num2 = "77"
输出："533"
示例 3：
输入：num1 = "0", num2 = "0"
输出："0"
提示：

1 <= num1.length, num2.length <= 104
num1 和num2 都只包含数字 0-9
num1 和num2 都不包含任何前导零

题目分析：

我们只需要对两个大整数模拟「竖式加法」的过程：

竖式加法就是我们平常学习生活中常用的对两个整数相加的方法，回想一下我们在纸上对两个整数相加的操作，是不是如下图将相同数位对齐，从低到高逐位相加，如果当前位和超过 10，则向高位进一位？我们只需按照这个思路来解决问题即可。

算法思想：

现在我们要考虑是从前往后加，还是从后往前加呢？如果是从前往后加则需要补 0 对齐，我们这里选择从后往前加。先定义两个指针 left、right 指向两个字符串 s1、s2 的末尾，再取出对应位置字符串的字符转化成 int整型进行操作。最后将结果在转化为字符型并插入到字符串中。

注意：这里需要考虑进位问题，我们可以采用一个 next 变量来进行进位维护

如果 s1[left]+s2[right] >= 10，这个时候就需要进位了，简单暴力一点：
            next = (s1[left]+s2[right])/10;
            (s1[left]+s2[right]) %= 10;
对于我们的上一位数，我们选择直接加上 next 即可

代码测试：

class Solution 
{
public:
    string addStrings(string num1, string num2) 
    {
        int end1 = num1.size()-1;
        int end2 = num2.size()-1;
        string str;
        int next = 0;
        while(end1>=0 || end2>=0) //最长的字符串遍历完就结束
        {
            //转化成 int 类型进行数学运算，如果前面没有数据就自动补 0
            int x1 = end1>=0 ? num1[end1--] - '0':0;
            int x2 = end2>=0 ? num2[end2--] - '0':0;
            int x = x1+x2+next;
            //判断进位
            next = x/10;
            x %= 10;
            //转化成字符在进行头插
            str.insert(str.begin(),'0'+x);
        }
        if(next == 1)
        str.insert(str.begin(),'1');
        return str;
    }
};

注意：
        if(next == 1)
        str.insert(str.begin(),'1');
我们来看这个代码，为什么要加上这一行代码呢？

如果 x1 = 1，x2 = 9 那么只有 '0' 被插入字符串，因为最长字符串的长度为 1 只能进行一次循环，当退出循环时还没来的及进位就结束了！！！

时间复杂度分析：

设两字符串中最长的长度为 n，那么时间复杂度为 O(n^2)

因为一次遍历 + 头插，为了让时间效率更优一点，优化成 O(n)，我们可以改成尾插：

class Solution 
{
public:
    string addStrings(string num1, string num2) 
    {
        int end1 = num1.size()-1;
        int end2 = num2.size()-1;
        string str;
        int next = 0;
        while(end1>=0 || end2>=0)
        {
            int x1 = end1>=0 ? num1[end1--] - '0':0;
            int x2 = end2>=0 ? num2[end2--] - '0':0;
            int x = x1+x2+next;
            next = x/10;
            x %= 10;
            str.push_back('0'+x);
        }
        if(next == 1)
        str.push_back('1');
        reverse(str.begin(), str.end());
        return str;
    }
};

字符串相乘

题目链接：字符串相乘

给定两个以字符串形式表示的非负整数 num1 和 num2，返回 num1 和 num2 的乘积，它们的乘积也表示为字符串形式。

注意：不能使用任何内置的 BigInteger 库或直接将输入转换为整数。

示例 1:
输入: num1 = "2", num2 = "3"
输出: "6"
示例 2:
输入: num1 = "123", num2 = "456"
输出: "56088"
提示：

1 <= num1.length, num2.length <= 200
num1 和 num2 只能由数字组成。
num1 和 num2 都不包含任何前导零，除了数字0本身。

题目分析：

<1>首先可以做一个小小的优化：先判断两个字符串是否含有 "0" ，如果有直接返回 "0" 即可

<2>如果两个字符串都不是 "0" ，则可以通过模拟「竖式乘法」的方法计算乘积。从右往左遍历乘数，将乘数的每一位与被乘数相乘得到对应的结果，再将每次得到的结果累加

<3>假设 num1 和 num2 的长度分别为 n 和 m，则它们的乘积的长度最多为 n + m

我们可以申请一个长度为 m + n 的数组，用于存储乘积的每一位

从低位到高位，依次计算乘积的每一位，最后将数组转换为字符串即可

注意：判断最高位是否为 0，如果是，则去掉

代码展示：

class Solution 
{
public:
    string multiply(string num1, string num2) 
    {
        if(num1 == "0"||num2 == "0")
            return "0";
        int n = num1.size(),m = num2.size();
        vector<int> arr(n+m);
        for(int i = n-1;i>=0;i--)
        {
            for(int j = m-1;j>=0;j--)
            {
                int a = num1[i] - '0';
                int b = num2[j] - '0';
                arr[i+j+1] += a*b;
            }
        }
        for(int i = arr.size()-1;i>0;i--)
        {
            arr[i-1] += arr[i]/10;
            arr[i] %= 10;
        }
        int i = 0;
        while(arr[i] == 0)
        {
            i++;
        }
        string str;
        for(i;i<arr.size();i++)
        {
            str += '0'+arr[i];
        }
    return str;
    }
};